2.2.- Iniciemos con un problema en el plano:

 

Supongamos que queremos izar una torre que tendrá 20 m de altura,

que pesa 600 N / m y que tiene además un equipo en la punta que 

pesa 4 KN. La torre se encuentra en el suelo y se sujeta por un 

extremo a una base pivoteada y se eleva del suelo mediante un 

poste de 6 m colocado verticalmente a 12 m del extremo pivoteado, 

de tal forma que conese ángulo resulte más fácil el izado, mediante 

un malacate que se encuentra a 20 m del pivote en dirección contraria 

a la torre y a una altura de 1.5 m sobre el suelo, 

 

Determina:

a)  La fuerza máxima ejercida por el malacate.

b)  La fuerza máxima que soporta la torre.

c)  Las reacciones en la base pivoteada.

d)  La fuerza que soporta el poste de soporte.

 

Solución:

Primero elaboraremos un croquis del problema

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

Datos:

                      L = 20 m

 

                        W = 4 KN.

 

                        p = 0.6 KN /mP = 0.6 x 20 = 12 KN [1]

 

                        h = 6 m

 

                        lh = 12 m

 



El diagrama de cuerpo libre podría ser así:

 


 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Empecemos por calcular los ángulos a y b

                                     

 

            Para calcular bnecesitamos saber H que vale,

 

 

H = L sen a

                        H =20 sen 26.56º = 8.97 m

 

Asi :2,

             

    Nuestro siguiente paso será establecer las coordenadas de los

puntos de interés a fin de determinar los vectores T, D, y W.

 

A (0,0)                            y    3

             

B (8.94, 4.48)4                 y     

             

C (17.89, 8.97)                y       

             

D (-20, 1.5)

 

    Los vectores que nos interesan son el del cable que va de C a D

y que llamamos T y la fuerza sobre la torre que va de A a C5 ,FAC :

 

                         

 

                        6

 

    Intervienen también los vectores P y W que sólo tienen 

componentes en Y por lo que:

 

                                                

 

     Podemos ahora calcular la tensión T mediante la suma de

momentos (segunda condición de equilibrio) en el punto A que 

elimina la acción de las reacciones y de FDCpor estar dirigidos hacia

o desde ese nudo.

             

7

                         

 

 

 

 

 

                         

 

                                                           5.347Tk = 178.84 k

                                                                                    

                                                                       T = 33.447 KN                                                                               

             

     Nuestro siguiente paso es considerar el total de las fuerzas 

externas que actúan sobre la torre; indicadas desde luego las reacciones, 

para aplicar la primera condición de equilibrio y determinar estas últimas:

 

            åFx = Rx - Tx = 0\Rx = Tx 0 - 0.981 * 33.447 = 32.816 KN

                                                                      

                                               Rx = 32.816KN

 

            åFy = Ry - P - W - Ty = 0

                         

             

         Ry = P + W + Ty = 12 + 4 + 6.455 = 22.455 KN    

                                     

                                                                       Ry = 22.455KN

 

     Puedes comprobar que estos resultados son correctos haciendo 

una sumatoria de momentos en C que da aproximadamente igual a cero

åMC = -0.080 debido a que estamos usando sólo 2 y 3 decimales.

             

     La fuerza máxima que soporta la torre se puede obtener 

proyectando la fuerza del cable T y lascargas W y P sobre la misma.



FDC = T cos (a - b) + P sen a + W sen a

 

FDC = 33.447 cos (26.56º - 11.15º) + 12 sen 26.56º + 4 sen 26.56º

                                     

FDC = 39.399 KN.



            La resultante de las reacciones es:

                         

                         

             

            Su ángulo es:

                         

 

      Vemos que el ánguloqes mayor quea , lo que significa que

la resultante de las reacciones no coincide con el eje longitudinal 

de la torre, la cual carga la proyección de R sobre ella y se

produce un momento flector.



                        Comprobemos la carga FDC:

 


 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g = q - a = 34.383º - 26.56º = 7.823º

FDC = 39.393 KN = R cos g = 39.763 cos 7.823º

FDC = 39.393 KN

 

que es el mismo valor antes calculado; por lo que podemos pensar 

que todos nuestros cálculos son correctos.

 

     De cualquier forma puedes sacaråMXen cualquier punto y su

valor tendrá que ser cero o cercano a cero.

 

    Finalmente calculemos la fuerza en el poste de soporte; toma en 

cuenta que esté cargada, en tanto T = 0ya que en cuanto carga 

el cable al poste deja de cargar; asi:

             

             

 

pero ya que las tres fuerzas solo tienen componentes en Y , podemos 

calcular este valor escalarmente:

 

             

FE = 14.903 KN

Con lo que terminamos nuestro problema.

 

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[1] Observa que el peso de la torre es de 600 N / mó0.6 KN / m y que si L = 20 m, entoncesP = p * L = 0.6 x 20y se encuentra a la mitad de la torre.

[1] Nota que el cable está a 1.5 m sobre el suelo, por eso H - 1.5 y que el cateto adyacente es 20más la proyección de L sobre el piso.

[1] Recuerda que las literales indican origen y punta del vector y que su magnitud se obtiene como coordenada de la punta menos la del origen; y que su sentido no crucial se elija correctamente pues si nos equivocamos el vector será negativo, lo que indica sentido contrario.

[1]X = L cos a,y = H / 2por ser triángulos semejantes.

[1] Estrictamente debimos haber elegido de BC porque el peso P tiene una componente sobre el tramo DB, pero podemos, por lo pronto, ignorarla para resolver las fuerzas que actúan sobre el punto C.

[1] Obtuvimos directamente los cosenos directores y multiplicamos por los cosenos directores para obtener así las proyecciones en i y j (X y Y).

[1] Repasa tus signos del producto vectorial.